پارادکس جعبۀ برتراند

پارادکس جعبۀ برتراند ، سه جعبه داریم که در یکی از آن‌ها دو سکۀ طلا هست. (جعبۀ ط. ط.). در جعبۀ دوم دو سکۀ نقره هست. (جعبۀ ن. ن.) و در جعبۀ سوم یک سکۀ طلا هست و یک سکۀ نقره (جعبۀ ط. ن.). هر جعبه به دو نیمه تقسیم شده است و می‌توانید هر نیمه را جداگانه باز کنید و توی هر نیمه یک سکه گذاشته‌اند. باید به طور تصادفی یکی از سه جعبه را انتخاب کنید. بختِ اینکه جعبه‌ای را انتخاب کنید که دو سکه با رنگ‌های متفاوت در آن باشد چقدر است؟ جواب روشن است: یک‌سوم. اما فرض کنید نخستین نیمۀ یکی از جعبه‌ها را که باز کردید می‌فهمید که داخلش سکۀ طلاست. در این‌صورت این جعبه یا ط. ط. است و یا ط. ن. و در نتیجه، انگار بخت اینکه این جعبه ط. ن. باشد یک‌دوم است. به همین ترتیب، اگر تویِ نیمۀ اولِ جعبه‌ای که باز کرده‌اید سکۀ نقره باشد آن‌وقت جعبۀ شما یا ن. ن. است یا ط. ن. و در این حالت هم بخت ط. ن. بودنِ این جعبه یک‌دوم است. این درحالی است که اولین سکه‌ای که چشمِ‌تان به آن می‌خورد یا سکۀ طلاست یا سکۀ نقره. پس چاره‌ای نیست جز اینکه بخت ط. ن. بودنِ هر جعبه‌ای که انتخاب می‌کنید یک‌دوم باشد و نه یک‌سوم. روشن است که بخت برگزیدن جعبه‌ای که سکه‌هایِ تویِ آن هم‌رنگ نباشند یک‌سوم است و لا‌غیر. مسأله این است که عیب و ایراد استدلال بالا را پیدا کنیم. همان‌طور که خود برتراند می‌گفت مغالطه‎ای در کار است و آن اینکه با این فرض که سکۀ نهفته در نیمۀ اولِ جعبه‌ای که انتخاب می‌کنید طلا باشد، احتمالِ اینکه سکۀ نهفته در نیمۀ دیگر طلا باشد با احتمال نقره بودنِ آن به یک اندازه است. اما این فرض درست نیست و احتمال نقره بودنِ سکۀ داخلِ نیمۀ دیگر کمتر است. اگر جعبه‌ای که انتخاب کرده‌اید ط. ط. باشد احتمال اینکه همان اولِ کار چشمِ‌تان به یک سکۀ طلا بخورد دو برابر احتمالِ وقتی است که جعبۀ انتخابیِ‌تان ط. ن. باشد. در نتیجه، دیدنِ اینکه یکی از سکه‌ها طلاست خبر از این می‌دهد که احتمال ط. ط. بودنِ جعبۀ انتخابی دو برابر احتمال ط. ن. بودنِ آن است. همین‌طور نقره بودنِ یکی از سکه‌ها خبر از این می‌دهد که احتمال ن. ن. بودنِ جعبۀ انتخابی دو برابر احتمال ط. ن. بودن آن است. فرض کنید3000 بار دست به انتخاب بزنیم در شرایطی که سکه‌ها را برگردانند توی جعبه‌ها و دور از چشم‌تان حسابی گزینه‌ها را قاطی کنند. هر بار که یکی از جعبه‌ها را بر‌می‌دارید به سکۀ اول نگاه می‌کنید و آن سکه ناگزیر یا طلاست یا نقره. اگر آن استدلال مغالطی را برای هر انتخاب قبول کنید توقع خواهید داشت تقریباً 1500 بار ط. ن. انتخاب کنید. اما اشتباه می‌کنید. در واقع تقریباً 2000 تا از انتخاب‌هایِ‌تان گزینه‌های هم‌رنگ خواهد بود (یعنی ط. ط. یا ن. ن.) و فقط هزارتا از انتخاب‌هایِ‌تان ط. ن. خواهد بود. جوزف برتراند ریاضی‌دانی بود که در سال 1889 کتابش را به نامِ حساب احتمالات بیرون داد.

.

.

پارادکس جعبۀ برتراند

(برگردان توسط کاوه بهبهانی از کتابِ پارادکس‌ها: از الف تا ی، مایکل کلارک، نشر راتلج، ص. 20-21)

.

.