مفارقة صندوق برتراند

مفارقة صندوق برتراند: لدينا ثلاثة صناديق، في أحدها قطعتان ذهبيتان (الصندوق ذ. ذ.)، وفي الثاني قطعتان فضيتان (الصندوق ف. ف.)، وفي الثالث قطعة ذهبية وأخرى فضية (الصندوق ذ. ف.). كل صندوق مقسوم إلى نصفين، ويمكنكم فتح كل نصف على حدة، وقد وُضعت قطعة نقدية في كل نصف. عليكم أن تختاروا أحد الصناديق الثلاثة عشوائياً. ما احتمال أن تختاروا صندوقاً يحتوي على قطعتين مختلفتي اللون؟ الجواب واضح: الثلث. لكن افترضوا أنكم فتحتم النصف الأول من أحد الصناديق فوجدتم فيه قطعة ذهبية. في هذه الحال، إما أن يكون الصندوق ذ. ذ. أو ذ. ف.، وعليه يبدو أن احتمال كون هذا الصندوق ذ. ف. هو النصف. وبالمثل، إن كانت القطعة التي في النصف الأول من الصندوق الذي فتحتموه فضية، فإما أن يكون صندوقكم ف. ف. أو ذ. ف.، وفي هذه الحال أيضاً احتمال كونه ذ. ف. هو النصف. هذا في حين أن أول قطعة تقع عليها أعينكم إما أن تكون ذهبية أو فضية. إذن لا مناص من أن يكون احتمال كون أي صندوق تختارونه ذ. ف. هو النصف لا الثلث. من الواضح أن احتمال اختيار صندوق لا تكون القطعتان فيه من لون واحد هو الثلث لا غير. المسألة هي أن نجد الخلل في الاستدلال أعلاه. وكما قال برتراند نفسه، ثمّة مغالطة هنا، وهي الافتراض بأنه إذا كانت القطعة المخبأة في النصف الأول من الصندوق الذي تختارونه ذهبية، فإن احتمال أن تكون القطعة المخبأة في النصف الآخر ذهبية يساوي احتمال أن تكون فضية. لكن هذا الافتراض غير صحيح، فاحتمال أن تكون القطعة في النصف الآخر فضية أقل. إذا كان الصندوق الذي اخترتموه ذ. ذ.، فإن احتمال أن تقع أعينكم أولاً على قطعة ذهبية هو ضعف احتمال ذلك حين يكون صندوقكم المختار ذ. ف. ونتيجة لذلك، فإن رؤية أن إحدى القطعتين ذهبية تنبئ بأن احتمال كون الصندوق المختار ذ. ذ. هو ضعف احتمال كونه ذ. ف. وبالمثل، فإن كون إحدى القطعتين فضية ينبئ بأن احتمال كون الصندوق المختار ف. ف. هو ضعف احتمال كونه ذ. ف. افترضوا أننا أقدمنا على الاختيار 3000 مرة، في ظروف تُعاد فيها القطع إلى الصناديق وتُخلط الخيارات جيداً بعيداً عن أعينكم. في كل مرة ترفعون أحد الصناديق، تنظرون إلى القطعة الأولى، وتلك القطعة لا محالة إما ذهبية أو فضية. إذا قبلتم ذلك الاستدلال المغالط لكل اختيار، فستتوقعون أن تختاروا ذ. ف. قرابة 1500 مرة. لكنكم مخطئون. في الواقع، قرابة 2000 من اختياراتكم ستكون من الخيارات المتحدة اللون (أي ذ. ذ. أو ف. ف.)، وألف فقط من اختياراتكم ستكون ذ. ف. كان جوزيف برتراند رياضياً أصدر كتابه المسمى "حساب الاحتمالات" عام 1889.

.

---

.

مفارقة صندوق برتراند

(ترجمة كاوه بهبهاني من كتاب المفارقات: من الألف إلى الياء، مايكل كلارك، نشر روتليدج، ص. 20-21)

.

---

.