اندیشهفلسفهخردگفتگوحکمتمعناپرسشفرهنگ
الفلسفة
التعريف الارتدادي
لا يمكن للحاسوب تعريف «السلف الذكري المباشر» دون استخدام عبارة «وهكذا». لذا فإن التعريف الاستقرائي، المؤلف من حالة أساس وخطوة استقراء، يصوغ في المنطق وعلوم الحاسوب تعريفاً يبدو ظاهرياً أنه دوري.
التعريف هو تعريف الشيء بواسطة وصف. على سبيل المثال، "وحيد القرن" بحسب التعريف يعني "حصان له قرن على رأسه". كل تعريف له جزءان على الأقل: أحدهما المُعَرَّف (definiendum) (= ما يُراد تعريفه، في مثالنا "وحيد القرن") والآخر المُعَرِّف (definiens) (= ما يُعرِّف المُعَرَّف، في مثالنا "حصان له قرن على رأسه"). لكن تعريف المفاهيم ليس بالأمر السهل دائمًا. لنفترض أننا نريد تعريف "السلف الذكري المباشر". يمكن القول ببساطة شديدة إن السلف الذكري المباشر لكل شخص هو أبوه، أو جده، أو أبو جده، وهكذا دواليك. يمكن كتابة هذا على النحو التالي:
"x سلف ذكري مباشر لـ y" بحسب التعريف يعني "x أب لـ y، أو x جد لـ y، أو x أبو جد y وهكذا دواليك"
لكن عبارة "وهكذا دواليك" ليست عبارة واضحة بمعايير الرياضيين والمناطقة. هذه العبارة لا تنفع بشكل خاص أولئك الذين يكتبون برامج للحاسوب. والسبب في ذلك هو أن الحواسيب الرقمية لا تستطيع تنفيذ الأمر "وهكذا دواليك". في مثل هذه الأوقات يجب استخدام "التعريف الارتدادي". التعريف الارتدادي هو تعريف لفئة من الأشياء يمكن ترتيبها في سلسلة. سلسلة قد لا يكون لها نهاية.
كل تعريف ارتدادي يتكون عمومًا من جزأين:
1- العبارة الأساسية (basis clause) حيث لا يرد فيها المُعَرَّف (أو ما يُراد تعريفه). و
2- الخطوة الاستقرائية (inductive step) حيث يرد فيها المُعَرَّف.
دعوني أوضح المطلب ببعض الأمثلة. لنفترض أننا نريد تعريف "السلف الذكري المباشر" دون استخدام عبارة "وهكذا دواليك". التعريف الارتدادي لهذه العبارة هو كما يلي:
التعريف الارتدادي (1): "x سلف ذكري مباشر لـ y" بحسب التعريف يعني "x أب لـ y، أو x أب لسلف ذكري مباشر لـ y."
"x أب لـ y" هي العبارة الأساسية و "x أب لسلف مباشر لـ y" هي الخطوة الاستقرائية. لتوضيح النقاش أكثر، لنفترض أن محمدًا أب لليلى وأن كورش أب لمحمد. محمد أب لليلى، إذن، بحسب العبارة الأساسية للتعريف الارتدادي (1)، محمد سلف ذكري مباشر لليلى. لكن الخطوة الاستقرائية للتعريف الارتدادي (1) تخبرنا أن كورش أيضًا سلف ذكري مباشر لليلى. وذلك لأن كورش أب للسلف الذكري المباشر لليلى، أي أب لمحمد. ومرة أخرى، لو كان إسماعيل أبًا لكورش، فطبقًا للخطوة الاستقرائية الارتدادية (1)، لكان إسماعيل أيضًا سلفًا ذكريًا مباشرًا لليلى وهكذا دواليك وهكذا دواليك.
ملاحظتان موجزتان حول التعريف الارتدادي:
أ- يبدو التعريف الارتدادي في الظاهر تعريفًا دائريًا. التعريف الدائري (circular) هو تعريف يظهر فيه المُعَرَّف في المُعَرِّف الخاص به. التعاريف الدائرية ليست ذات فائدة تذكر. لأنها بدلًا من تعريف المفهوم، تعيدنا إلى نقطة البداية. في التعاريف الارتدادية أيضًا، يبدو أن المُعَرَّف (في مثالنا "السلف الذكري المباشر") يظهر في المُعَرِّف (في الخطوة الاستقرائية في التعريف الارتدادي (1)). لكن الحقيقة هي أن التعاريف الارتدادية ليست دائرية.
ب- كلمة استقراء في "الخطوة الاستقرائية"، ليست الاستقراء المنطقي (الوصول من الملاحظات الجزئية إلى القضية الكلية). بل المراد هو الاستقراء الرياضي. الاستقراء في الرياضيات يختلف عن الاستقراء المنطقي. في الواقع، الاستقراء الرياضي يُثبت بالاستنتاج المنطقي. أحيانًا يُطلق على التعريف الارتدادي اسم التعريف الاستقرائي، والمقصود هنا أيضًا هو الاستقراء الرياضي.
مثالان آخران للتعريف الارتدادي للمفاهيم:
التعريف الارتدادي لمفهوم العدد (في مجموعة الأعداد الحسابية):
"x عدد" بحسب التعريف يعني "x هو صفر أو x هو تالٍ لعدد."
طبقًا لهذا التعريف، الأربعة هي عدد لأنها تالٍ لتالٍ لتالٍ لتالٍ للصفر.
التعريف الارتدادي للمعرفة التجريبية:
"القضية p تُعرف تجريبيًا" بحسب التعريف يعني "p تُعرف بالإدراك الحسي المباشر أو p تُعرف باستنتاج معتبر من مجموعة من القضايا عُرفت واحدة منها على الأقل تجريبيًا."
في الختام، ينبغي القول إن التعريف الارتدادي له تطبيقات واسعة في علوم الحاسوب والرياضيات والمنطق. فعلى سبيل المثال، يُعرَّف مفهوم الصيغة (formula) في المنطق عادةً بطريقة ارتدادية، أو يمكن تعريف مفهوم العدد الأولي في الرياضيات بهذه الطريقة.
.
.
المصادر:
1- Definitions, Dictionaries, and Meanings, Norman Swartz, Online
2- Introduction to Logic and its philosophy, Peter K. Schotch, Library and Archives Canada Cataloguing in Publication 2006, P. 15-16.
3- Technical Methods in Philosophy, John L. Pollock, Westview Press, 1990, P. 37-41
.
.
التعريف الارتدادي (recursive definition)
كاوه بهبهاني
.
.
نقاش حول هذا المقال١ تعليق
احسنت. امید که به فهم ریاضیات در آموزش های ابتدایی و تکمیلی اهمیت بیشتری داده شود. مشخص است که یادگیری ریاضیات با فهم آن متفاوت است. من شاید بتوانم به راحتی از روابط ریاضی برای حل مسایل استفاده کنم ولی ممکن است فهم کاملی از آنها نداشته باشم. این دو متفاوت اند. به نظرم فهم ریاضیات، به فهم بسیاری از مسایل و موضوع های دیگر کمک می کند.